図形	３１　多面体　（略解）

１	西大和学園高校　（Ｒ４年）　★★	４	慶應義塾志木高校　（Ｒ６年）　★★★
このとき,図2の立体の体積を求めよ。 【解】切断面PQRSを考える PQ,SRの延長交点Oをとると, 　正六角錐O-PS∽正六角錐OｰQR 　　　(相似比は1:2)…ア 正六角錐OｰQR＝×正六角形×OH 　＝×(√3×42×6)×4√3＝96…イ アイより, 体積＝正六角錐OｰQR× 　　　　　＝96×＝84		多面体の各頂点に集まる各辺を3等分する点のうち,頂点に近い方の点をすべて通る平面で立体を切り,頂点を含む角錐を取り除いて新しい立体を作る操作を［操作1］とする。例えば図1の正四面体に［操作1］をすると,図2のような立体ができる。 (1) 図3のような1辺の長さが9の正八面体に［操作1］をしたときにできる立体の体積V1を求めよ。 【解】 正四角錐P-ABCD=×92×√2＝(243/2)√2…ア 切り取る小四角錐＝ア×＝√2…イ 体積V1＝ア×2−イ×6＝243√2−27√2＝216√2 (2) (1)でできた立体に対して,さらに［操作1］をしたときにできる立体の体積V2を求めよ。 【解】図2(切頂八面体)は,正方形6,正六角形8,頂点14 切り取る小三角錐＝×(×12)×＝√2 体積V2＝V1−√2×24＝214√2
２	筑波大附属駒場高校　（Ｒ５年）　★★★
(1) 面が一辺10cmの正方形で,側面が一辺10cmの正三角形である正四角すいの体積 【解】 体積＝×102×5√2＝(500√2)/3 (2) 一辺10cmの正方形6個と一辺10cmの正六角形8個で作られた多面体(切頂八面体という)の体積 【解】一辺30cmの正八面体−(1)×6 体積＝( 500√2 ×32)×2− 500√2 ×6＝8000√2 3 3
３	洛南高校　（Ｒ５年）　★★★	５	早稲田大高等学院　（Ｒ５年）　★★★
(1) すべての辺の長さが2の正六角柱ABCDEF-GHIJKLがあります。 (ｱ) △AELの面積(右図) 【解】二等辺三角形 △AEL＝×2√3×√5＝√15 　(ｲ) 四面体AEILの体積 【解】(三角錐A-MLI)−(三角錐E-MLI) 体積＝2(×4×2)×√3×＝√3 (2) (ｱ) 手順�@で通過する面積 【解】△AGE＋扇形GEE'(右上図) 面積＝×2×2√3＋42π×＝2√3＋4π (ｲ) 手順�@〜�Cで曲線の長さの和 【解】 手順�A＝8π×＝π　手順�B＝4√3π×＝√3π Eが描く曲線PE＝√22＋(√3)2＝√7 　手順�C＝2√7π×＝√7π 長さの和＝(2＋＋√3＋√7)π 　　＝ 20＋4√3＋3√7 π 6		図1,図2のような多面体Pについて考える。 (1) 多面体P(正四角反柱という)の表面積 【解】正方形2個＋正三角形8個 表面積＝12×2＋×12×8＝2＋2√3 (2) 断面の図形の面積 【解】1辺の正八角形 断面積＝(＋×2)2−×()2×4＝(√2＋1)/2 (3) 周の長さを求めよ。 【解】四角形DGEA 周の長さ＝√2＋1×3＝√2＋3 (4) h2の値を求めよ。 【解】h＝APとする △EHKで, 　(√2x＋x)2＋x2＝12 　x2＝1/(4＋2√2) △APMで,h2＝AM2−PM2＝AM2−(PE2−EM2) 　＝()2−2x2＋()2＝1−2x2＝

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