 図形 |
３０ 正八面体 （略解） | |
| 図形 |
３０ 正八面体 （略解） | |
| １ | 中央大附属横浜高校 （Ｒ４年） ★★ | ４ | 就実高校 （Ｒ４年） ★ |
 1辺の長さが8の正八面体ABCDEF があり,辺ABの中点をM,辺CDの中点をNとする。(1) 三角すいMBCEの体積を求めなさい。 【解】 体積＝  △BCE×( √2×8)×＝ ×82×2√2＝(128√2)/3 (2) MNの長さを求めなさい。【解】 等脚台形LMCDで,MC＝LD＝MN △ABCで,CM＝4√3より, MN＝CM＝4√3 |
 図のような1辺の長さが6cmの立方体がある。この立方体の各面の対角線の交点を結んで正八面体を作るとき,この正八面体の体積は[ ]cm3である。【解】（右図参照） △OABで, OA＝OB＝3より, AB＝3√2 正八面体の1辺は3√2cmとなって, 体積＝ √2×(3√2)3＝√2×54√2＝36cm3 |
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| ２ | 東京学芸大附属高校 （Ｒ５年） ★★ | ５ | 慶應義塾志木高校 （Ｒ４年） ★★★ |
 右の図のように,1辺の長さが2cmの正八面体ABCDEFがあり,辺BFの中点をM,辺ACの中点をNとする。(1) △ABFの面積を求めなさい。 【解】正方形ABFDの半分 △ABF＝22÷2＝2cm2  (2) 線分AMの長さを求めなさい。【解】△ABMは直角三角形 AM＝√22＋12＝√5cm  (3) 線分MNの長さを求めなさい。【解】切り口は正六角形 MN＝√3cm (4) △AMNの面積を求めなさい。  【解】△MNCは二等辺三角形MH＝√(√3)2＋(1/2)2＝ √11△AMN＝ ×1×√11＝√11/4cm2 |
 図のような１辺の長さが2の正八面体ABCDEFがあり,辺AB上の点P,辺AC上の点QをAP:PB＝AQ:QC＝2:1となるようにとる．正八面体ABCDEFを,次のような平面で切るとき,切り口の面積を求めよ。(1) △DEFに平行で2等分する平面  【解】（右上図参照）切り口は,1辺1の正六角形 面積＝(  √3×12)×6＝ √3(2) 線分PQを含み2等分する平面 【解】（右図参照）M,Nは中点 切り口は,六角形で,  PM＝√ { (√3)2＋( )2}＝√7PH＝√ { ( √7)2−()2}＝√6面積＝台形PMNQ×2 ＝ ( ＋2)×√6×2＝ √6 |
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| ３ | 明治学院東村山高校 （Ｒ６年） ★★ | ６ | 鎌倉学園高校 （Ｒ６年） ★★ |
 図1のように,立方体に正八面体が接しています。また,図2はI,L,J,Nを通る平面で切断した断面です。(1) 立方体の１辺の長さが８cmのとき,正方形I LJNの１辺の長さを求めなさい。 【解】4√2cm (2) 四角形KLMNの面積が32cm2のとき,立方体の1辺の長さを求めなさい。  【解】KL＝LJ＝4√2より, 8cm(3) (2)のとき,正八面体の体積を求めなさい。 【解】(正四角錐I-KLMN)×2 正四角錐I-KLMNの高さIO＝ IJ＝4体積＝（ ×32×4)×2＝256/3cm3 |
 1辺が2cmである正八面体があります。(1) この正八面体に外接する球の半径を求めなさい。 【解】△OAPの等辺 半径＝OA＝ AB＝√2cm (2) この正八面体に内接する球の半径を求めなさい。【解】切断面PMQNで考える △ONH∽△PNO(3辺は1:√2:√3) 半径＝OH＝PO÷√3＝√2÷√3＝  √6cm |
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  [公式] 1辺aの正八面体高 さ h＝ √2a (半分) 外接球の半径R＝√2a体 積 V＝ √2a3 内接球の半径r＝ √6a表面積S＝2√3a2 |
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