図形	２９　四面体　（略解）

１	市立西京高校　（Ｒ６年）　★★★	４	巣鴨高校　（Ｒ４年）　★★
正四面体ABCDに半径１の球が内接している。この正四面体の１辺の長さを求めよ。ただし,内接するとは,球が正四面体のすべての面と接することである。 【解】正四面体＝立方体−三角錐×4 1辺aの正四面体＝√2a3…ア 半径1の球が内接する正四面体＝×a2×4…イ ア＝イより,√2a3＝a2で, a＝2√6		OPの長さと△POMの面積をそれぞれ求めなさい。 【解】 △ONPで,∠ONP＝90°,ON＝2√3 OP＝√(2√3)2＋12＝√13 ∠OMP＝90°より,△OMPで, 　MP＝√(√13)2−22＝3 △POM＝×3×2＝3
２	市川高校　（Ｒ５年）　★★★	５	明治大付属明治高校　（Ｒ４年）　★★★
右の図のように,四面体ABCDがあり,AB＝AC＝AD＝√21,CD＝2√5,BC＝BD＝√30である。 　また,CDの中点をM,Aから△BCDに下ろした垂線と△BCDとの交点をHとする。 (1) AMの長さを求めよ。 【解】 △ACMで,AM＝√(√25)2−(√5)2＝4 (2) AHの長さを求めよ。 【解】 △BCMで,BM＝√(√30)2−(√5)2＝5 △ABMで,BH＝xとすると, 　AH2＝(√21)2−x2＝42−(5−x)2で,x＝3 　AH2＝(√21)2−32＝12より, AH＝√12＝2√3(3) Hを中心として半径√5の球を平面ACDが切りとってできる断面と,△ACDの共通部分の面積を求めよ。 【解】斜線部分＝扇形＋二等辺三角形 面積＝(√2)2π×＋(√2)2＝π＋1		図のように,1辺の長さが6の正四面体OABCがある。辺OAの中点をMとし,辺O上に点PをMP＋PCの長さが最短となるようにとる。 (1) MP＋PCの長さ 【解】（右図参照） △MOHで,∠MOH＝60°より, 　OH＝,MH＝√3 △MCHで,MC＝√　{ ()2＋(√3)2}＝3√7 (2) △MPCの面積 【解】△POM∽△PBC(相似比1:2) △MPCで,垂線MNをおろし, 　　PN＝xとすると, MN2＝(√7)2−x2＝(3√7)2−(2√7−x)2 　これを解いて,x＝√7で,MN＝√35 △MPC＝×2√7×√35＝3√5 (3) 小さいほうの立体に内接する球の半径 【解】（右図参照） 三角錐O-MPC＝正四面体O-ABC×× 　＝√2×63×＝3√2 …ア △OMC＝×3×3√3＝√3…イ △OPM＝×3×√3＝√3…ウ △OPC＝×6×√3＝3√3…エ 内接球の半径をrとすると,ア〜エより, 　(√3＋√3＋3√3＋3√5)r＝3√2 　r＝ 　3√2(3√3−√5)　. ＝ 9√6−3√10 (3√3＋√5)(3√3−√5) 22
[公式] 1辺aの正四面体 　高 さ h＝√6a 　体 積 V＝√2a3 　表面積S＝√3a2 　外接球の半径R＝√6a 　内接球の半径r＝√6a
３	日本大第二高校　（Ｒ６年）　★★★	(2) 正四面体ABCDの体積を求めよ。 【解】△NBCは正四面体を,ADと垂直に2等分割している △NBC＝×6×3√2＝9√2 体積＝△NBC×(AD＋ND)＝×9√2×6＝18√2 (3) 四面体ABCPの体積を求めよ。 【解】（三角錐A-BNC)＋(三角錐P-BNC) AP＝xとすると,AP2＝MP2＝MN2＋(AP−AN)2 　x2＝(3√2)2＋(x−3)2より,x＝AP＝ 体積＝△BNC×AP＝×9√2×＝（27/2)√2
図のように,1辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて,2辺BC,ADの中点をそれぞれM,Nとし,辺AD上にAP＝MPとなるような点Pをとる。 (1) 線分MNの長さを求めよ。 【解】MNは△NBCの中線 △NBCで,NB＝NC＝3√3 　MN＝√(3√32)−32＝3√2　　　　　(右へつづく→)

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