図形	２５　円柱・円すい　（略解）

１	芝浦工大附属高校　（Ｒ６年）　★	５	静岡県立高校　（Ｒ５年）　★★
右の図のように,母線の長さが10cmの円すいを平面上ですべらないように転がしたところ,ちょうど5回転してもとの位置に戻った。このとき,円すいの表面積を求めなさい。 【解】円錐の底面半径をrとすると, 移動円周＝2r×5＝20πで,r＝2 表面積＝×4π×10＋22π＝24πcm2		△ODFの面積を求めなさい。　 【解】AO＝√62−32＝3√3 △DOEで,DO2＝(√3)2＋()2より, 　DO(等辺)＝3 △DFEで,DF2＝(√3)2＋(√3)2より, 　DF(底辺)＝√6 △ODFは二等辺三角形で,高さは√10 　よって,×(√6)×(√10)＝√15cm2
２	法政大高校　（Ｒ４年）　★	６	桃山学院高校　（Ｒ６年）　★
図は,円柱を2つの平面で切断してできた立体である。この円立体の体積を求めなさい。 【解】右図参照 体積＝32π(3×＋5＋2×) 　＝9π×＝(135/2)π 【別解】切頭円柱＝底面積×高さの平均 体積＝32π× 7＋8 ＝ 135 π 2 2		右の図の立体Aは,半径が3cmの半球と底面の半径が3cmで母線の長さが5cmの円すいを合わせたものです。また,立体Bは底面の半径が3cmの円柱です。立体Aと立体Bの体積が等しくなるときの立体Bの高さを求めなさい。 【解】Bの高さをhとすると, B＝32π×h＝9πh　…ア A＝π×33÷2＋×32π×5＝33π…イ ア＝イより,9πh＝33πで, h＝cm
３	日本大習志野高校　（Ｒ６年）　★★	７	茨城県立高校　（Ｒ４年）　★★★
右図のように底面の半径が6cm,高さが8cmの円錐Aがあり,底面は平面P上にある。円錐Ａを右図のように,平面P上を12cm移動させる。 (1) 円錐Aの側面の展開図であるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。 【解】母線＝√62＋82＝10cm 中心角をxとすると, 　扇形の弧＝20π×＝12πで, x＝216° (2) 図のように移動させたとき,円錐Ａが通過した部分の立体について,体積と表面積をそれぞれ求めなさい。 【解】立体は上図の円錐(アウ)＋三角柱(イ) 体積＝×62π×8＋(×12×8)×12＝(96π＋576)cm3 円錐の表面積＝×12π×10＋62π＝96π 三角柱の側面積＝(10＋10＋12)×12＝384 　表面積＝(96π＋384)cm2		図のような,底面の半径が2cm,母線の長さが6cm,高さが4√2cm,頂点がOの円すいがある。 (1) この円すいの体積を求めなさい。 【解】 体積＝×22π×4√2＝√2πcm3 (2) この円すいの表面績を求めなさい。 【解】 面積＝×4π×6＋22π＝12π＋4π＝16πcm2 (3) ひもの長さが最短となるように点Qをとるとき,そのひもの長さを求めなさい。 【解】展開図(120°の扇形)で考える OP＝2より,PQ＝PH＝√3, OH＝1 △PBHで,PB＝√(√3)2＋(6−1)2＝2√7 長さ＝PQ＋PB＝(√3＋2√7)cm
４	東北学院高校　（Ｒ６年）　★★	(2) 球Oの半径を求めなさい。 【解】球の半径をrとすると, △POHで,r2＋92＝(15−r)2 　これを解いて,r＝
右の図のような,球Oがちょうど入る円錐の容器があります。円錐の底面の半径が8cm,高さが15cmのとき, (1) この円錐の表面積を求めなさい。 【解】母線＝√82＋152＝17cm 表面積＝×16π×17＋82π＝200πcm2

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