図形	２４　三角柱・三角すい　（略解）

１	岩手県立高校　（Ｒ４年）　★★★	５	城北高校　（Ｒ４年）　★★
図は,底面が直角三角形で,側面がすべて長方形の三角柱です。 (1) 線分BMの長さを求めなさい。 【解】△BEMで, 　BM＝√92＋32＝√90＝3√10cm (2) 頂点D,Eをふくむ方の立体の体積 【解】(右上図参照) △ABCで,AB＝√62−(2√5)2＝4 (三角錐G-ABC)∽(三角錐G-NMF)で, 　相似比2:1だから,体積比は8:1 三角柱台ABC-NMF＝三角錐G-ABC× 　＝×(×4×2√5)×18×＝21√5…ア 三角柱ABC-DEF＝×4×2√5×9＝36√5…イ イ−アより, 体積＝15√5cm3		すべての辺の長さが6の三角柱ABC-DEFがある。 (1) △DBQの面積を求めよ。 【解】 DB＝√62＋62＝6√2 QB＝QD＝√62＋32＝3√5 △QBDは二等辺三角形(高さは3√3) 　△DBQ＝×6√2×3√3＝9√6 (2) EPの長さを求めよ。 【解】EP＝xとすると, 四角錐D-EFQP＝(x＋3)×6÷2＝3√3(x＋3)…ア 三角柱ABC-DEF＝×62×6＝54√3…イ アイより,3√3(x＋3)＝54√3×で, x＝EP＝
２	東京学芸大附属高校　（Ｒ４年）　★★	６	日本大第二高校　（Ｒ５年）　★★
△OABが底面の三角錐の高さを求めなさい。 【解】 △ABC＝×62＝9√3より, 　三角錐O-ABC＝×9√3×4√6＝36√2 △OAB＝×6×√(6√3)2−32＝9√11 高さをhとすると,三角錐C-OAB＝三角錐O-ABCより, 　×9√11h＝36√2で, h＝ 12√2 ＝ 12√22 √11 11		右の図のように,AD＝10cmの正三角柱ABC-DEFにおいて,BE上に点P,CF上に点Qを,それぞれEP＝2cm,FQ＝6cmとなるようにとると,∠AQP＝120°になった。 (1) ∠PAQの大きさを求めよ。 【解】 QP＝QAより,PAQ＝(180−120)÷2＝30° (2) 辺ABの長さを求めよ。 【解】AB＝xとおくと, △ABPで,AP＝√x2＋64 △PQRで,QP＝√x2＋16 (1)より,AP:QP＝2:2√3＝1:√3だから, 　√x2＋64：√x2＋16＝1:√3で, AB＝x＝2√2cm (3) この立体を平面APQで切断するとき,点Bを含む方の立体の体積を求めよ。 【解】 四角錐A-BPQC＝BPQC×高さ 　＝×(×12×2√2)×√6＝8√3ｃｍ3
３	愛光高校　（Ｒ４年）　★★★
△ABCに平行な面DEFで切った立体の体積を求めよ。 【解】四角錐O-AGBCで考える △DEF∽△ABC(相似比2:3)で, 　OA＝OB＝18,BC＝6, ∠C=90° 垂線OHを△ABCおろすと,AH＝BH △OABで,OH＝√182−62＝12√2 三角錐台DEF-ABC＝三角錐O-ABC×(19/27) 　＝×(×6×6√3)×12√2×(19/27)＝(152√6)/3
４	秋田県立高校　（Ｒ６年）　★★★	７	都立八王子東高校　（Ｒ６年）　★★★
右の図のように,三角錐OABCがある。点Aから辺OBを通り,点Cまで最も短くなるようにひいた線と辺OBの交点を Pとする。このとき,三角錐PABCの体積を求めなさい。 【解】ACの中点をMとすると,OM⊥△ABCで, 　高さOM＝√92−(3√2)2＝3√7 △ONB∽△APB(相似比3:2)より,PB＝2 三角錐P-ABC＝(三角錐O-ABC) 　＝×(×62)×3√7×＝4√7cm3		立体Ａ-BCDは,AB＝AC＝BD＝CD,BC＝AD＝6cmの四面体である。BP＋PD＝lcmとする。 　点Ｐを辺AC上において動かすとき,最も小さくなるlの値を求めよ。 【解】 4面はすべて合同な二等辺三角形で底辺は6) △BCDで,DM＝4より,等辺BD＝AC＝5 △ABCに垂線BHを下ろし,AH＝xとすると, 　BH2＝52−x2＝62−(5−x)2より,x＝ 　BH＝, PH＝−＝で,BP＝√97 l＝2BP＝√97

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