図形	２１　立方体　（略解）

１	東京電機大高校　（Ｒ５年）　★★	４	法政大第二高校　（Ｒ５年）　★★★
１辺の長さが12cmの立方体ABCD-EFGHがあります。 (1) △BEGの面積を求めなさい。 【解】1辺12√2の正三角形 △BEG＝(12√2)2＝72√3cm2 (2) 線分BD上に,BP:PD＝3:1となる点Pをとり,直線PFと△BEGとの交点をQとします。このとき,線分PQの長さを求めなさい。 【解】BP//FOより,△PQB∽△FQO(比3:2) PF＝√(9√2)2＋122＝√306＝3√34 　PQ＝3√34×＝√34cm		１辺の長さが8cmの立方体ABCD-EFGHがある。辺AD,CDの中点をそれぞれM,Nとする。 (1) 四角形MEGNの面積 【解】MK＝√(4√5)2−(2√2)2＝6√2 MEGN＝(4√2＋8√2)×6√2＝72cm2 (2) 点H四角形MEGNまでの距離 【解】PQ＝MK＝6√2 △PQRで,QR＝√(√6)2＋82＝2√2 △HQS∽△PQR(比2:3)より, 　HS＝PR＝×8＝cm
２	日大習志野高校　（Ｒ４年）　★★★	５	慶應義塾高校　（Ｒ４年）　★★★
1辺の長さが5cmの立方体ABCD-EFGHがある。 (1) 4点B,E,F,Gを頂点とする四面体BEFGの体積と表面積を求めなさい。 【解】 体積(B-EFG)＝△EFG×5＝ 125 cm3 6 △FBEF＝△FBG＝△FEG＝×52＝ △BEG＝×5√2×√6＝√3 表面積＝×3＋√3＝ 25(3＋√3) cm2 2 (2) 線分FD上の点Oを中心とする球がある。この球は面ABCDに接し,かつ,3点B,E,Gを通る平面にも接する。3点B,E,Gを通る平面と球の接する点をPとするとき,OP/ODの値を求めなさい。 【解】切断面BFHDを考える DF＝√52＋52＋52＝5√3cm △DBF∽△DQO（3辺比1:√2:√3)より,OD＝√3r　　 　OP ＝ 　r　 ＝ √3 　OD √3r 3		辺の長さが5の立方体ABCD-EFGHがある。 (1) 線分FRの長さを求めよ。 【解】 △PRF∽△AQE(相似比2:3)より, 　FR＝×＝ (2) 四角形APRQの面積は,三角形APQの面積の何倍か求めよ。 【解】AQ‖PR,AQ:QR3:2より, △APQ:△PQR＝3:2で, 　APRQ ＝ 3＋2 ＝倍 　△APQ 3 (3) 平面APQで分けられた2つの立体のうち,頂点Eを含む方の立体の体積を求めよ。 【解】AP,QR,EFの延長交点をSとすると, (三角すいS-AQE)∽(三角錐S-PRF) SF＝xとすると,AE:PF＝3:2より, 　SE:SF＝(x＋5):x＝3:2で,x＝10 三角すいS-AQE＝△AQE×SE＝375/8 よって, {1−()3}×(375/8)＝2375/72
３	市川高校　（Ｒ６年）　★★★	６	灘　高校　（Ｒ６年）　★★★
1辺の長さが8の立方体ABCD-EFGHについて,点I は辺BF上に点Ｊは辺CD上に存在し,BI:IF＝CJ:JD＝1:3である。 (1) △IGHの面積を求めよ。 【解】IG＝√62＋82＝10 ∠IGH＝90°より,△IGH＝×8×10＝40 (2) Jから△IGHに下ろした垂線の足をKとするとき,KJの長さを求めよ。 【解】平行面JA'E'H'(上図の青)を考えると,KはH'I'上 △JKH'∽△H'E'I'(辺4:3:5)より,JK＝JH'＝32/5 (3) Kから正方形EFGHに下ろした垂線の足をLとするとき,KLの長さを求めよ。 【解】LはE'H'上 △H'LK∽△JKH'(辺4:3:5)より,KL:JH'＝9:25 　KL＝JH'＝72/25		1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。3点A,C,Fを通る平面と直線BHの交点を I とする。 (1) 線分BI の長さは[　　]である・ 【解】BI＝正三角錐B-ACFの高さ Iは△ACF(1辺√2)の重心 AI＝√6×＝√6より,BI＝√(1−)＝ (2) .四面体ABCI の体積は[　　]である。 【解】高さ＝HD＝ 四面体I-ABC＝×(×12)×＝ (3) 四面体ABCI の4つの面すべてに接する球の半径を rとするとき,の値を求めよ。 【解】V＝Sｒ＝だから,表面積Sを求めればよい △ABC＝, △IAB＝△IBC＝√2, △IAC＝√3 ＝6S＝6(＋√2＋√3×2)＝3＋√2＋2√3

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