図形	１７　多角形　（略解）

１	江戸川学園取手高校　（Ｒ４年）　★★★	5	東海高校　（Ｒ４年）　★★★
１辺の長さが2である正五角形ABCDEの5本の対角線の交点を右図のようにおき,五角形FGHIJをつくるとき, [(3)は解答手順も記述しなさい。] (1) ∠ABIの大きさを求めなさい。 【解】1つの内角は108°で, △ABEで,∠ABI＝(180−108)÷2＝36° (2) 対角線ACの長さを求めなさい。 【解】AJDEはひし形で,AJ＝JD＝2 △ACD∽△ABJより,AC:AB＝CD:BJ 　AC＝xとすると,x:2＝2:(x−2) 　x(x−2)＝4より, x＝AC＝1＋√5 (3) FGHIJの面積は,ABCDEの面積の何倍か 【解】AI＝(1＋√5)−2＝＝√5−1より, 　I J＝(1＋√5)−2(√5−1)＝3−√5 FGH IJ ＝ (3−√5)2 ＝ 14−6√5 ＝ 7−3√5 倍 ABCDE 22 4 2		１辺の長さが6cmの正六角形ABCDEFがあり,四角形ABCDの内部に点Pをとると,△PAB,△PBCの面積がそれぞれ10√3cm2,8√3cm2であるとき, (1) △PDAの面積は[　　]cm2 【解】 △PBC＝×6×PR＝8√3より,PR＝√3 　QH＝3√3−√3＝√3 △PDA＝×12×√3＝2√3cm2 (2) 線分AQの長さ[　　]cm 【解】 △AQH∽△ABIより,√3:3√3＝AQ:6 　3√3AQ＝2√3で, AQ＝cm (3) 線分BRの長さ[　　]cm 【解】BR＝xとすると, ABRJ＝△PAB＋△PBR＋△APJより, 　(x＋x＋3)×3√3 　　＝10√3＋x×√3＋(x＋3)×√3 これを解いて, x＝BR＝4ｃｍ
２	市立西京高校　（Ｒ５年）　★	6	都立墨田川高校　（Ｒ４年）　★★★
正十角形ABCDEFGHIJ において,∠CPI の大きさを求めよ。 【解】正十角形の外接円を考える CHは直径で,∠CGH＝90° △PGHで,∠H(外角)＝360÷10＝36° 　∠P＝90−36＝54°		ABCDEFは１辺が3cmの正六角形で,点Gは辺EFの中点である。 　 (1) 図１において,頂点Bと点Gを結んでできる線分BGの長さは何cmか。 【解】 △ABFで,BF＝3√3 △BFGで,BG＝√{(3√3)2＋()2}＝√13cm (2) 図2は,図１において,頂点Cと点Gを結んでできる線分CGを折り目にして,CDEGをABCGFに重なるように折った場合を表している。斜線で示された図形の面積は何cm2か。　 【解】 CGED＝△CGE＋△CED 　＝×3√3×＋×3√3×＝√3 斜線部＝ABCDEF−2CGED 　＝(×3×√3)−√3×2＝√3ｃｍ2
３	國學院久我山高校　（Ｒ５年）　★★
図のような,6つの内角の大きさがすべて等しく,周の長さが39の六角形ABCDEFがある。AB＝8,BC＝7,CD＝6のとき,EF＝(　　)となる。 【解】右図参照 △PQR,△OAF,△QBC,△RDEは正三角形 y＋8＋7＝7＋6＋DRより,DR＝y＋2 x＋y＋8＋7＋6＋(y＋2)＝39で,x＋2y＝16…ア PQ＝PRより,y＋15＝x＋2y＋2で,x＋y＝13…イ 　アイより, x＝EF＝10
４	桐蔭学園高校　（Ｒ６年）　★	7	駿台甲府高校　（Ｒ６年）　★
図のように，正五角形ABCDEがある。このとき，∠xの大きさは[　　]°,∠yの大きさは[　　]°である。 【解】△ABCと△AEDは二等辺三角形 　頂角108°だから,底角＝36°で,∠x＝36° ABPEはひし形だから,∠y＝∠A＝108°		右の図の正九角形において,∠xの大きさを求めよ。 【解】外接円をとり,円周角を考える ∠y＝20°(円周ののの円周角) ∠z＝40°(円周ののの円周角) 　∠x＝20＋40＝60°

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