図形	１６　正方形　（略解）

１	都立墨田川高校　（Ｒ５年）　★	５	和歌山県立高校　（Ｒ４年）　★★★
右の図において,四角形ABCDは正方形,弧ACは,頂点Bを中心とし,線分BAを半径とする円の周の一部である。 　弧AC上にあり,頂点A,頂点Cのいずれにも一致しない点をEとし,頂点Aと点E,頂点Cと点Eをそれぞれ結ぶ。 　このとき,∠EAD＋∠ECDの大きさは何度か。 【解】∠AEC＝270÷2＝135° ∠EAD＋∠ECD＝180−(∠BAD＋∠BCE) 　＝180−(360−90−135)＝180−135＝45°		１辺が6cmの正方形ABCDの辺BC上に点P,辺CD上に点Qがある。 　BP＝PC,∠BAP＝∠CPQのとき,3点A,P,Qを通る円の半径を求めなさい。 【解】（右図参照） △ABP∽△PCQ(相似比2:1)で,CQ＝ ∠APQ＝x＋y＝90°で,AQが円の直径 △AQDで,AQ＝√{62＋(6−)2}＝ 　半径OA＝÷2＝cm
２	ラ・サール高校　（Ｒ５年）　★★★	６	大阪教育大付属平野校舎　（Ｒ４年）　★★★
(1) 長さの比 EP:PG 【解】Qをとると,△AEP∽△QGP EP:PG＝AE:GQ＝2:(2＋6)＝1:4 (2) 四角形APGHの面積 【解】 △AEP∽△AFB(相似比2:√10より,面積比2:5) △AEP＝△AFB＝×＝ APGH＝AEGD−△AEP−△HGD 　＝−−1＝29/10		正方形ABCDがある。辺AB,BCの中点をそれぞれE,Fとし,CEとDFの交点をGとする。 (1) △CFG∽△CBEであることを証明しなさい。 【略証】 △DCF≡△CBE(2辺夾角相等)…ア △CFG∽△CBEで, ∠GFC＝∠BEC(アより) ∠FCG＝∠ECB(共通) 2角相等より, △CFG∽△CBE (2) 比 EG:DG:DE を求めなさい。 【解】(1)より,∠G＝∠B＝90° △CBEより,3辺は,1:2:√5 △CBE∽△CFG(相似比√5:1) 　GF＝1とすると,BE＝CF＝√5で,EG＝5−2＝3 DF＝DE＝5より,△DEGで,DG＝√52−32＝4 よって, EG:DG:DE＝3:4:5
３	城北高校　（Ｒ４年）　★★★
四角形ABCDは,1辺の長さが15の正方形であり,AFは∠DAEの二等分線である。このとき,DFの長さを求めよ。 【解】（右図参照） 延長点Gをとる △ABE∽△GDA（相似比8:15)より, 　DG＝AB＝, AG＝AE＝ △AGDで,GF:DF＝AG:AD＝:15＝17:8 DF＝xとすると,(−x):x＝17:8 　17x＝225−8xで, x＝DF＝9
４	愛知県立高校　（Ｒ６年）　★★★	７	立命館高校　（Ｒ６年）　★★
図で,四角形ABCDは正方形,Eは辺DCの中点,Fは線分EBの中点,Gは辺AD上の点で,∠GAF＝∠GFEである。また,Hは線分EB上の点で,∠GHE= 90°である。AB＝4cmのとき, (1) 線分EFの長さは[　　]cmである。 【解】△BCEで,BE＝√42＋22＝2√5 BF＝BE＝×2√5＝√5cm (2) 線分HFの長さは線分EBの長さの[　　]倍である。 【解】FP＝BP＝3√5 △AFP∽△FGP(相似比8:3√5)より,GP＝ △GHP∽EDP(相似比：2√5)より,PH＝√5 FH÷EB＝(3√5−√5)÷2√5＝		右の図の四角形ABCDは１辺の長さが10cmの正方形です。辺BC上にBE:EB＝1:2となる点E,辺CD上にCF:FD＝1:1となる点F,辺AD上にAG:GD＝3:2となる点Gをとります。線分AEと線分BF,BGとの交点をそれぞれH,I とするとき,△BHI の面積を求めなさい。 【解】 AI:IE＝:＝9:5…ア AH:HE＝2:＝12:2…イ アイより,AE:IH＝14:(14−9−2)＝14:3 　△BHI ＝△ABE×＝(×10×)×＝

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