図形	１４　平行四辺形　（略解）

１	和歌山県立高校　（Ｒ５年）　★	４	専修大附属高校　（Ｒ５年）　★
平行四辺形ABCDの辺BC上に点Eがある。 　図のように,AB＝4cm,BE＝3cm,EC＝2cmのとき,辺BAの延長上にAG＝2cmとなるように点Gをとる。また,GEとADの交点をHとする。 　このとき,台形ABEHの面積は,平行四辺形ABCDの面積の何倍になるか,求めなさい。 【解】ABCDの高さをhとする △GAH∽△GBE(比1:3)より,AH＝1 台形ABEH÷ABCD＝(1＋3)h÷5h 　＝2h÷5h＝倍		平行四辺形ABCDの面積を１とするとき, (1) AG:GEを求めなさい。 【解】Gは△ABCの重心で,AG:GE＝2:1 (2) △ABGの面積を求めなさい。 【解】△ABG＝△ABE＝×△ABC 　＝××ABCD＝ABCD＝ (3) △AEFの面積を求めなさい。 【解】△ABE＝△ADF＝, △CEF＝×＝ △AEF＝1−(＋＋)＝
２	高知県立高校　（Ｒ４年）　★★★	５	日大第二高校　（Ｒ４年）　★★★
平行四辺形ABCDがある。辺AD上にAE:ED＝1:2となる点Eをとり,辺BC上に,BE‖FDとなる点Fをとる。線分ACと線分BEの交点をG,線分ACと線分FDの交点をHとする。 (1) △ABG≡△CDHを証明しなさい。 【証明】 △ABE≡△CDF(2辺夾角相等9より, 　　∠ABE＝∠CDF …ア △ABGと△CDHで, AB＝CD(平行四辺形の対辺) ∠BAG＝∠DCH(錯角) ∠ABG＝∠CDH(アより) 1辺両端角相等より, △ABG≡△CDH (2) 線分FDと線分CEの交点を Ｉ としたとき,平行四辺形ABCDの面積は,三角形 IHC面積の何倍か。 【解】（右図参照） ABCD＝Sとすると,△AEG∽△CBG(相似比1:3)より, 　△CEG＝(3/24)S＝s △CIH∽△CEG(相似比1:3)より, 　△IHC＝△CEG＝×s＝s/72で, 72倍		図のようにAB＝9,AD＝10の平行四辺形ABCDにおいて, (1) GHの長さを求めよ。 【解】△HAEは等辺5で,の二等辺三角形で, 　GH＝GE−HE＝9−5＝4 (2) AGの長さを求めよ。 【解】AG＝BE＝xとすると,△AGH∽△ABEで, 　AG:AB＝GH:BEより,x:9＝4:x 　x2−36より, x＝AG＝6 (3) CFHEの面積は△AEHの面積の何倍になるか。 【解】CI＝yとすると, △AHG∽△IHE(相似比4:5)より, 　I H＝AH＝, IE＝AG＝ △ABI∽△HEI(相似比9:5)より, 　(10＋y):(4＋y)＝9:5で,y＝ 　よって,BE:EC:CI＝AH:HF:FI＝6:4:＝12:8:7 △HEI∽△FCI(相似比15:7)より, 　CFHE＝{1−()2}△IEH＝△IEH AH:HI＝12:15＝4:5より, △AEH＝△IEH CFHE ＝ △IEH ＝ 176×5 ＝ 44 倍 △AEH △IEH 225×4 45
３	城北高校　（Ｒ６年）　★★	６	鹿児島育英館高校　（Ｒ６年）　★★
右の図の平行四辺形ＡBCDにおいて,辺AD上に点Eをとり,BDとCEの交点をＦとする。また,辺CD上にFG‖ＢBCとなるような点Gをとる。AE:ED＝1:2のとき,△DFGと△FBCの面積比を求めよ。 【解】△FDE∽△FBC(相似比2:3) DG:DC＝2:5より,△DFG:△DBC＝22：52＝4:25 また,△DFG:△CFG＝2:3だから, 　△DFG:△FBC＝4:(25−4−6)＝4:15		ABCDにおいて,辺BC,CDの中点をそれぞれE,Fとし,線分AEとBD,BFとの交点をそれぞれP,Qとする。 (1) AP:PQ:QEを求めよ。 【解】△PAD∽PEB(相似比2:1)で,AP:PE＝2:1…ア BP＝BD,　EF＝BDで,　BP：FE＝2:3 △QPB∽△QEF(相似比2:3)より,PQ:QE＝2:3…イ 　アイより,AP:PQ:QE＝10:2:3 (2) ABCDの面積は△PBQの面積の何倍か求めよ。 【解】(1)より,PQ＝AE ABCD＝4△ABE＝4×△PBQで, 30倍

［TOP］　［問題にもどる］　　★　中　　★★　やや難　　★★★　難