図形	１１　正三角形　（略解）

１	福島県立高校　（Ｒ４年）　★★	５	滋賀県立膳所高校　（Ｒ５年）　★★
【解】(右上図参照) 図1より, ∠x＝180−(34＋60) 　＝180−94＝86° [別解] 図2より,△ABCを26°回転させると考えて, 　∠x＝60＋26＝86°		長さの和 PD＋PE＋PF が一定であることを証明し,その長さの和を求めなさい。 【解】右上図参照 1辺6の△ABC＝×62＝9√3 　　＝△PAB＋△PBC＋△PCA (6x＋6y＋6z)＝9√3 　3(x＋y＋z)＝9√3で, x＋y＋z＝3√3（一定）
２	城北高校　（Ｒ５年）　★	６	城北高校　（Ｒ５年）　★★
正方形ABCDの内部に正三角形を作る。∠AEFの大きさを求めよ。 【解】△BCEは二等辺三角形 ∠x＝(180−30)÷2＝75° 　∠AEF＝180−(60＋75)＝45°		線分の長さの和 DE＋DFを求めよ。 【解】△ABCの1辺をaとすると △ABC＝a2＝√3より,a＝2 BC＝2(x＋y)＝2で,x＋y＝1 よって, DE＋DF＝√3(x＋y)＝√3
３	巣鴨高校　（Ｒ４年）　★★	７	筑波大附属駒場高校　（Ｒ４年）　★★★
(1) △APC≡△AQDの証明 【証明】 △APCと△AQDで, 　 AP＝AQ(△APQの1辺) AC＝AD(△ACDの1辺 ∠CAP＝∠DAQ＝60°−∠QAC 2辺夾角相等より, △APC≡△AQD (2) △ABCの面積を求めなさい。 【解】(右図参照) 垂線BHをおろし,AH＝xとすると, 　△ABCで, 　　BH2＝72−x2＝52−(8−x)2 　これを解いてx＝より, BH＝√3 △ABC＝×8×√3＝10√3 (3) AP＋BP＋CPが最小のとき,∠APBの大きさ 【解】(1)より, AP＋BP＋CP＝PQ＋BP＋QD＝BP＋PQ＋QD 　≧線分BPQD(4点が一直線のとき) ∠APB＝180−∠APQ＝180−60＝120°		(1) 線分BQの長さ 【解】 △AQB≡△APCより,BQ＝PC＝√3cm (2) △ABPと△ACPの面積の和 【解】垂線PHをおろし,QH＝xとする △PQBで,PH2＝12−x2＝(√2)2−(√3−x)2 　x＝√3より, PH＝√6 　△PQB＝×√3×√6＝√2…ア △AQP＝×1×√3＝√3 …イ △ABP＋△ACP＝△ABP＋△AQB 　＝△AQP＋△PQB＝イ＋ア＝ √3＋2√2 4 (3) 正三角形ABCの面積 【解】(右図参照) 3点Q,R,Sをとって,3つの正三角形をつくる △AQB≡△APC,△BRC≡△BPA,△CSA≡△CPB さらに,△PQB≡△RCP≡△APS よって,△ABC＝六角形AQBRCS÷2 　＝[△APQ×{12＋(√2)2＋√3)2}＋△PQB×3]÷2 　＝( √3 ×6＋ √2 ×3)÷2＝ 3√3＋3√2 4 2 4
４	桜美林高校　（Ｒ６年）　★★★	(2) 線分AEの長さを求めなさい。 【解】△EBDは正三角形で,ED＝6 △AEDで,AE＝√62−42＝2√5cm (3) △ADCの面積を求めなさい。 【解】△ABD≡△ACFとなる点Fをとると, 　∠ADC＝60＋90＝150°(左図の青) 右図のような△AHDを考えて,AH＝2 　△ADC＝×2√5×2＝2√5cm2
図のような,正三角形ABCがある。△ABCの内部に点Dを,△ABCの外部に点Eを,△BCD≡△BAE となるようにとる。 AD＝4cm,BD＝6cm,∠EAD＝90°のとき, (1) ∠EBD の大きさを求めなさい。 【解】△BAE≡△BCDより,∠EBA＝∠DBC ∠EBD＝∠EBA＋∠ABD＝∠ABC＝60° 　　　　　　　　　　　　　　　　　(右へつづく→)

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