３１０内心と内接円（解答）

１

明治大付属明治高校　（Ｒ５年）　★★

４

西大和学園高校　（Ｒ４年）　★★★

　△ABCの内接円の半径をrとするとき,

(1) rをa,b,cを用いて表せ。
【解】
BC＝a＝(c－r)＋(b－r)より,
　r＝

(b＋c－a)
(2) △ACDの内接円の半径をa,b,rを用いて表せ。
【解】
△ABC∽△DACより,

半径＝r×	AC	＝r×	b	＝	br
	BC		a		a

(3) 線分PQの長さをrを用いて表せ。
【解】
(2)と同様に,△DBAの内接円の半径＝cr/a

△PQHで,PQ²＝(	br	＋	cr	)²＋(	br	－	cr	)²
	a		a		a		a

＝	2(b²＋c²)r²	＝	2a²r²	＝2r²
	a²		a²

よって, PQ＝√2r

　点Oを中心とする半径5の円が3点A,B,Cを通り,点I を中心とする半径2の円が△ABCの3辺すべてに接している。また,直線BI と点Oを中心とする半径5の円との交点で,点Bと異なる点をDとする。

(1) DC＝DI であることを証明せよ。
　ただし,∠IBA＝∠IBC…①
　　　　 ∠ICB＝∠ICA…②
　が成り立つことは,証明なしに用いてもよいものとする。
【証明】（右上図参照）
点Iは△ABCの内心
∠ABD＝∠ACD＝x(円周角)
△DCIで,∠DCI＝x＋y　∠DIC＝x＋y(外角)

　∠DCI＝∠DICより, DC＝DI

(2) ∠IBCの大きさをb°とするとき,∠ODCの大きさをbを用いた式で表せ。
【解】△OCDで,
∠COD＝2b(中心角)
　∠ODC＝(180－2b)÷2＝(90－b)°

(3) 線分の長さの積 BI･DI の値を求めよ。
【解】△BEIと△OFDで,∠B＝∠O＝bより,
　△BEI∽△OFD(2角相等)
BI＝p,DI＝qとすると,

　p:5＝2:

qで, pq＝BI･DI＝20

(4) 線分OI の長さを求めよ。
【解】垂線OGをおろすと,BG＝DGで,
　DG＝

(p＋q), IG＝q－

(p＋q)＝

(q－p)
△OIGと△ODGで,
　OG²＝OI²－IG²＝OD²－DG²より,
　OI²＝5²－

(p＋q)²＋

(q－p)²＝25－pq＝5
よって,OI＝√5

２

開成高校　（Ｒ５年）　★★★

　AB＝2√2,BP＝1であるとき,
(1) AC,PCの長さをそれぞれ求めよ。
【解】APは∠Aの二等分線
PC＝xとおくと,
　2√2:AC＝1:xで,AC＝2√2x
△ABCで,(2√2)²＋(1＋x)²＝(2√2x)²
　これを解いて,x＝

　よって, AC＝

√2, PC＝

(2) △PAB,△PACの内接円の半径の比を求めよ。
【解】半径をr₁,r₂とすると,
△ABPで,AP＝√(2√2)²＋1²＝3
　△ABP＝

(2√2＋1＋3)r₁＝

×2√2×1で,

r₁＝	2√2 .	＝	1　.	＝√2－1
	2√2＋4		√2＋1

　△APC＝

(3＋

＋

√2)r₂＝

×2√2で,

r₂＝	3√2　.	より,	r₁	＝(√2－1)×	5＋3√2	＝	2√2＋1
	5＋3√2		r₂		3√2		3√2

よって, r₁:r₂＝(2√2＋1):3√2

３

國學院大久我山高校　（Ｒ６年）　★★

５

和洋国府台女子高校　（Ｒ６年）　★

　右の図のような∠A＝90°,AB＝12,AC＝5の直角三角形ABCがある。この三角形の3つの辺すべてに接する円の半径は[　　]である。
【解】中心Oから3垂線(半径x)を下ろす
BD＝BE＝12－x…ア,　CF＝CE＝5－x…イ
ア＋イより,(12－x)＋(5－x)＝√12²＋5²
　17－2x＝13で, 半径x＝2

　右の図のように,△ABCに内接する円があり,辺BC,CA,ABとの接点を,それぞれP,Q,Rとする。このとき,内接する円の半径を求めよ。

【解】中心Oから3垂線(半径r)を下ろす
△ABCで,6²＋8²＝10²となり,∠A＝90°
□AROQは正方形で, 半径r＝2cm

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