図形 ７　円と四角形　（略解）
１ 日大習志野高校　（Ｒ４年）　★★ ４ 神奈川県立高校　（Ｒ４年）　★★★
　四角形ABCDがACを直径とする半径5cmの円Oに内接している。
　AB＝5cm,CD＝2√5cmのとき,∠ADB＝[　　]度,BD＝√　(　　　)cmである。

【解】△ABCで,
∠B＝90°,AB＝5,AC＝10より
　∠ACB＝30°だから,
　　∠ADB＝∠ACB＝30度
△ACDで,AD＝√102－(2√5)2＝4√5
△ABDで,垂線AHを下ろすと,
　AH＝2√5,DH＝2√15,BH＝√5
BD＝√5＋2√15＝√5(1＋2√3)cm		 　線分ABは円Oの直径であり,2点C,Dは円Oの周上の点である。
　また,点Eは線分AC上の点で,BC∥DEであり,点Fは線分ABと線分DEとの交点である。
　AE＝2cm,CE＝1cm,DE＝3cmのとき,三角形BDFの面積は[　　]cm2である。

【解】垂線BHをおろすと,BH＝1
△AED∽△BHD(2角相等)で,DH＝, EH＝
△AEF∽△BHF（相似比2:1）
　FH＝xとすると,EF:HF＝(－x):x＝2:1
　これを解いて, x＝
△BDF＝(＋)×1＝13/18cm2
２ 東大寺学園高校　（Ｒ５年）　★★★ ５ ラ・サール高校　（Ｒ４年）　★★★
　図のように,点Oを中心とする円０の周上に4点A,B,C,Dがあり,AB＝BC＝6,CD＝10,DA＝4を満たしている。

(1) △ABDの面積と△BCDの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。
【解】DBは∠KDCの二等分線
BK＝BHより,△ABD:△BCD＝AD:CD＝2:5
(2) 線分CD上にCE＝6となる点Eをとるとき,△BEDの面積を求めよ。
【解】△ABD≡△EBDで,BE＝6
△BCEは1辺6の正三角形で,BH＝3√3
　△BED＝×4×3√3＝6√3
(3) 線分BDの長さを求めよ。
【解】△BHDで
BD＝√(3√3)2＋72＝2√19
(4) 円０の半径を求めよ。
【解】△BDFの内角は,30,60,90°
直径BF＝BD× 2 ＝2√19× 2 ＝ 4√57 で,半径は 2√57
√3 √3 3 3
　円に内接する四角形ABCDはAB＝3,BC＝CD,DA＝5,∠BCD＝60°を満たしている。

(1) 対角線AC,BDの長さ
【解】
正△ABFに垂線DHをとると,
　△BDHで, BD＝√{(＋5)2＋(√3)2}＝7
△ABC≡△FBDより, AC＝FD＝3＋5＝8
(2) ACとBDの交点をEとして,
　　　線分の長さの比AE:EC
【解】
△AED∽△FBD(相似比5:8)より,
　AE＝3×＝で,EC＝8－＝
よって, AE:EC＝:＝15:49
[参考]トレミーの定理
　AB×CD＋AD×BC＝AC×BD
　(左×右＋上×下＝対角線どうし)
上の(1)では
　3×7＋5×7＝8×7　が成り立つ
３ 函館ラ・サール高校　（Ｒ６年）　★★ (2) DCの長さを求めなさい。
【解】AB∥DCより,ABCDは円に内接の等脚台形
△ABD∽△ADE(比:)より,AE＝AD＝
DC＝AB－2AE＝－×2＝cm

(3) 右の図は,台形ABCDとその台形に外接している円の一部である。図の斜線部分を直線ABを軸に1回転してできる回転体の体積を 求めなさい。
【解】回転体＝球－左右の円錐－中央の円柱
　＝π×()3－×(√3)2π××2－(√3)2π×
　＝500/81π－125/108π－125/36π＝125/81π
　AB＝㎝,AD＝㎝,BD＝√3㎝である台形ABCD（AB∥DC）がある。この台形が円に内接している。

(1) ∠ADBの大きさを求めなさい。
【解】△ABDで,
AD2＋BD2＝()2＋ (√3)2＝（1＋3)＝100/9…ア
AB2＝ ()2＝100/9　…イ
ア＝イより, AD2＋BD2＝ AB2で,∠ADB＝90°
　　　　　　　　　　　　　　　　　(右へつづく→)

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