関数	１７　放物線と直線４　（略解）

１	桜美林高校　（R４年）　★★	４	市立福山高校　（R５年）　★
(1) aの値を求めなさい。 【解】アに(－9,3)を代入して, 3＝(－9)2aで, a＝1/27 (2) 点Bの座標を求めなさい。 【解】ACの傾き＝1だから,C(0,12) y＝x2にy＝12を代入して,x2＝12×27＝324 　x＝18で, B(18,12) (3) 1回転させてできる立体の体積 【解】D(9,21)で,BD＝CD＝9√2,AD＝18√2 体積＝外の円すい－内の円すい 　＝(9√2)2π(18√2－9√2)＝486√2π		(1) t＝－1のとき,線分PQの長さを求めなさい。 【解】②,①にt＝－1を代入して, P(－1,)　Q(－1,)で, PQ＝－＝4 (2) PQ＝2となるとき,tの値をすべて求めなさい。 【解】P(,t＋5)　Q(t,t2) PQ＝t＋5－t2＝2 　t2－2t－9＝0で, t＝1±√10 (3) 平行四辺形になるとき,点Pの座標 【解】PQ＝AOとなればよい PQ＝t＋5－t2＝5より,t＝2で, P(2,19/3)
２	京華高校　（R４年）　★★	５	立命館慶祥高校　（R５年）　★★★
図のように,放物線y＝ax2…①と2直線y＝x＋…·②,y＝−x＋3…③があり,直線②と直線③は放物線①上の点Aで交わっている。 (1) aの値を求めよ。 【解】②＝③より,A(－3,) これを①に代入して,＝(－3)2aで, a＝ (2) 四角形ACBDが平行四辺形になるとき,点Dの座標を求めよ。 【解】①＝②より,B(5,)　①＝③より,C(2,2) ADCBだから,CBの変化の割合より 　D(－3＋3,＋)＝D(0,15) (3) (2)のとき,直線DB上に△OBEの面積が90になるような点Eをとる。点Eの座標を求めよ。ただし,点Eのx座標は負とする。 【解】E(t,－t/2＋15)とすると, △OBE＝OD×(BとEのx座標差) 　＝×15×(5－t)＝90 　75－15t＝180で,t＝－7　よって, E(－7,37/2)		(1) 直線ACの式を求めなさい。 【解】A(－2,2) C(4,8) y＝ 8－2 (x＋2)＋2で, y＝x＋4 4＋2 (2) 点Dの座標を求めなさい。 【解】B(1,) OAはy＝－x…ア　BCはy＝x－2…イ ア＝イより,x＝で, D(,－) (3) △ADCの面積を求めなさい。 【解】F(,2)をとり,AFを底辺と考える △ADC＝AF×(CとDのy座標差) 　＝(＋2)(8＋)＝108/7 (4) 点Pのx座標を求めなさい。 【解】P(t,t－2)とすると, △ADP＝AF×(PとDのy座標差) 　＝(＋2)(t－2＋)＝t－18/7…ウ △CEP＝CE×(EとPのx座標差) 　＝×8×(4－t)＝－4t＋16…エ ウ＝エより, t＝260/119
３	お茶の水女子大附属高校　（R６年）　★★	６	慶應義塾志木高校　（R６年）　★★★
放物線①y＝sx2(s＜O)と２つの直線②y＝tx,③y＝－tx（t＞0）において, (1) tの値を求めなさい。 【解】∠A＝60°だから,傾きt＝√3 (2) sの値を求めなさい。 【解】B(a,－√3a)とすると, △OAB＝×2a×√3a＝√3a2＝9√3より,a＝3 Ｂ(3,－3√3)で,これを①に代入して,－3√3a＝32sで, s＝－ (3) さらに,放物線④y＝px2(p＜0)を考える。④と②,④と③の原点Ｏでない方の交点をそれぞれ点C,Dとおくとき,点C,Dの座標と△OCDの面積Ｓをpを用いて表しなさい。 【解】①＝④より,√3x＝px2で, C(√3/p,3/p) D(－√3/p,3/p) Ｓ＝ 1 × 2√3 × 3 ＝ 3√3 2 p p p2		放物線y＝x2…アがある。 (1) 直線lの方程式と点P,Qの座標を求めよ。 【解】(6,0),(0,6)を通るからlは, y＝－x＋6 …イ ア＝イより, Ｐ(－1－√13,7＋√13)　 　　　Ｑ((－1＋√13,7－√13) (2) 直線l上に点B,Cをとって四角形OCABが長方形になるようにするとき,線分BCの長さを求めよ。 【解】BC＝OAより, BC＝√42＋82＝4√5 (3) (2)のとき,OCABの面積S1とＯＱＡＰの面積S2を求めよ。 【解】Aからl に垂線を下ろすと,H(1,5) AH＝√(4－1)2＋(8－5)2＝3√2 S1＝2△ABC＝2×(×4√5×3√2)＝12√10 lの傾きは－1なので,PQ＝(QとPのx座標差)×√2＝2√26 S2＝2△APQ＝2((×2√26×3√2)＝12√13

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